TLÜ matemaatika didaktika täienduskoolitusel on 23 õpetajat töötanud välja 12 digitundi, mis innustavad õpilasi matemaatikast julgemalt mõtlema, kirjutama ja rääkima.*

Tegemist on interaktiivsete õppematerjalidega, kus on lünktekste, valikvastustega küsimusi, lühivideoid ja muid materjale, mis ärgitavad õpilast aktiivselt tegutsema. Näiteks on seal videoid, mis enne edasi ei lähe, kui õpilane on teatud küsimustele õigesti vastanud. 

Uudse lahendusena on nendes digitundides soovitusi, mis õpetavad õpilast efektiivsemalt õppima. Näiteks „Järgmisel slaidil on selgitav video, kuid proovi enne selle vaatamist lahendada ise nii palju, kui suudad, sest nii õpid sa rohkem“, „Proovi lahendada see ülesanne kirjalikult, sest siis on kergem vigu märgata“, „Ära vaata varem õpitud materjali rutakalt telefonist või õpikust, vaid meenuta kõigepealt peast“. Antakse ka soovitusi aja planeerimiseks jms. 

Uue teema avamise viis etappi

Projekti eestvedajad Jüri ja Marina Kurvits toonitavad, et kõigis digitundides avatakse uut teemat viie etapina, mis ärgitavad õpilasi matemaatikast aktiivselt mõtlema ja oma mõtetest ka rääkima ja neid kirja panema. Need etapid on järgmised.

• INTRIIG. Teema käsitlemist alustatakse intrigeeriva küsimuse, katse või näitega. 
• ARVAMUSED. Õpilased avaldavad nähtu kohta arvamust, kusjuures ühtki arvamust ei loeta valeks.
• ARVAMUSTE VÕRDLUS. Tahvli peal tuuakse selgelt välja, mille poolest õpilaste arvamused üksteisest erinevad.
• ARVAMUSTE PÕHJENDUSED. Õpilased selgitavad ja põhjendavad oma arvamusid ja mõttekäike. 
• KOKKUVÕTTED. Õpilased teevad õpetaja abiga arutelust kokkuvõtte.

Marina ja Jüri Kurvits nendivad, et need viis etappi on selleks, et panna õpilased matemaatika üle juurdlema ja oma mõtetest rääkima. Nad lisavad, et õpetajatele pole need viis etappi uudis, sest juba aastakümneid on räägitud, et õpilasele ei tohi öelda seda, mida ta saab ise avastada jms, kuid mõnedki õpetajad sellest põhimõttest siiski ei lähtu, sest „minu õpetaja mind niimoodi ei õpetanud“, „matemaatikat saab ka lihtsamalt ja kiiremini õpetada“, „ainekava on nii pingeline, et pole aega õpilastega niimoodi „mängida““ jne. On öeldud ka nii: „Kust te elate? Tulge taevast maa peale!“

Õppimise paradoksid

Jüri ja Marina Kurvits loodavad, et 23 õpetaja loodud 12 digitundi siiski julgustavad õpetajaid õpet niimoodi korraldama, et õpilased saaksid oma matemaatikasse puutuvaid mõtteid võimalikult lihtsalt välja öelda. Kuid selleks peab õpetaja endale selgeks tegema, missugustest põhimõtetest need digitunnid lähtuvad. Näiteks ei sobi need selleks, et õpilastele lihtsalt hindeid panna. Nagu öeldud, on eesmärk panna lapsed matemaatikast rääkima, kuid seda tehes peab ka ettevaatlik olema, sest igas soovituses on ka paradoksina mõjuvaid üksikasju, millele ei osata mõnikord tähelepanu pöörata. Toome kõigepealt ära neli olulist töövõtet, mis õpilasi rääkima julgustavad, ning vaatame seejärel, mis paradokse nendes on:

• aktiivne meenutamine ning eelteadmiste aktiveerimine,
• algul küsimus, siis selgitus,
• enne dialoog ja siis järeldus,
• õppija eneseregulatsiooni toetamine.

Meenutamise paradoks. Matemaatika õppimisel on väga tähtis koht meenutamisel, toonitab Marina Kurvits. Kui varasemad teadmised ei aktiveeru, siis ei saa õpilane uut materjali millegagi seostada ega võrrelda ja tal jääb kõik õhku rippuma, mis ongi peamine põhjus, miks suur osa õpilasi matemaatikat raskeks peab. Õpetajad teavad, et meenutamine on ülitähtis, kuid jätavad selle siiski mingitel „veelgi tähtsamatel“ põhjustel tegemata. Kui tundub, et aasta lõpuks ei jõua kõiki teemasid läbi võtta, siis ei lase õpetaja eelmisi teemasid meenutada mitte õpilastel, vaid räägib neile ise kiiresti ära, mida on vaja varasemast teada, et uuest osast aru saada. Paradoks on siin selles, et õpetaja arvates on kõike korralikult meenutatud ja õpilastelgi tekib illusioon, et nad mäletavad kõike piisavalt, kuid testimisel on selgunud, et ligi pool klassi mäletab eelnevaid teemasid ebapiisavalt. 

Selgitamise paradoks. Tihti ei ole väga hea selgitamine üldsegi hea, toob Jüri Kurvits välja teise paradoksi. Näiteks lastevanemad peavad kõige paremaks õpetajaks seda, kes kõige paremini selgitab. Kodus küsitakse ikka, kas õpetaja selgitas sulle hästi. Kuid tegelikult on head selgitused vastuolus õppimise olemusega, ütleb Jüri Kurvits, sest õppimine on oma olemuselt teadmiste ise loomine, mitte selgituste meelde jätmine.

Kurvits toob näiteks Khan Academy videod, mis selgitavad matemaatika teemasid väga hästi, kuid uuringud näitavad, et nad ei soodusta õppimist. Samuti on paljud Eesti matemaatikaõpetajad võtnud videosse väga häid matemaatika teemade selgitusi, kuid neidki ei ole hakatud kasutama algselt oodatud mahus. Milles on probleem?

Uut teemat tuleks alustada õpilaste segadusse ajamisega, mitte selgitustega, ütleb Jüri Kurvits, sest segadusse sattudes hakkavad õpilased mõtlema, kuidas asjad tegelikult on. Nii tekib õpilastel võimalus päriselt õppida, eriti siis, kui nad iseseisvalt küsimusi sõnastavad.

Marina Kurvits lisab, et segadusse sattudes hakkab õpilane juurdlema, mis võiks olla lahendus, ning mõtleb selgitusi ise välja. Kui ta seda ei suuda, siis muutub ka õpetaja hea selgitus õpilasele tõeliselt vajalikuks – siis saab ta ahhaa-elamuse ehk õpib.

Dialoogi paradoks. Matemaatikast arusaamine tekib enamasti dialoogi käigus, toonitab Marina Kurvits, kuid siin on paradoks selles, et matemaatika on täppisteadus ja paljudele õpetajatele tundub, et dialoogi tohib pidada „ainult õigeid sõnu ja väljendeid kasutades“. Selles eksimise hirmus õpitakse definitsioone nagu luuletusi pähe ja dialoogi ei teki.

Dialoogis esile tulevaid väärarusaamu ei tohi karta, rõhutab Jüri Kurvits, sest ekslikud arvamused on enamasti samuti loogilised, lihtsalt õpilasel on mõned üksikasjad märkamata jäänud. Näiteks on antud tehe ½+½ ja laps saab vastuseks 2/4. See vastus on ju loogiline, kui kasutada puhtalt naturaalarvude teadmisi. Laps lihtsalt ei tea või on unustanud hariliku murru tähenduse. Kui aidata õpilasel neid üksikasju märgata, et õige vastuseni jõuda, siis tekib samuti ahaa-elamus, mis näitab, et õpilane tõesti õpib. 

Marina Kurvits lisab, et õpetaja võib päris teadlikult klassile mingi väärarusaama esitada ja küsida, kas õpilased on sellega nõus, ning lasta siis põhjendada, miks nad on või ei ole nõus. Intrigeerivad küsimused tekitavad õpilastel vajaduse selgituste järele. Neile vastates hakkab laps mõtlema omaenda mõtlemise üle, mis on matemaatilise mõtlemise kujunemiseks ülioluline.

Aga õpilased ei arva ju mitte midagi! Nii on mõned õpetajad Kurvitsatele öelnud. Kui lapsed matemaatikast ei räägi, siis tulebki uue teema selgitamisel eeltoodud viie etapi meetodit kasutada, toonitab Marina Kurvits. Ja õpetaja ei tohiks õpilasele rutakalt ütelda, kas vastus on vale või õige. Selle asemel tuleks küsida, kuidas õpilane sellise vastuse sai. Kuidas ta mõtles? Enamasti selgub, et laps mõtles loogiliselt, kuid tegi kuskil väikese vea. Kui õpetaja kuulab kannatlikult ka valesid vastuseid, siis hakkavad lapsed varsti matemaatikast rääkima.

Õpetajal ei tohi ükski lihas näos liikuda, kui õpilane midagi uskumatult valesti ütleb, lisab Jüri Kurvits. Mitte kuidagi ei tohi välja paista, et õpetaja on vale vastuse pärast kurb ja pettunud, sest ainult nii hakkab enamik lapsi oma arvamust välja ütlema ja ka teiste arvamuste üle juurdlema. 

Ennastjuhtiva õppija paradoks. Paradoks on selles, et õpilane peab oma õppimist ise juhtima, kuid ta ei saa ju planeerida seda, mida ta veel ei tea ega oska. 23 õpetaja koostatud 12 digitunnis on sellega arvestatud ja seal soovitatakse uue teema puhul õpetaja või kogu klassiga arutada, kuidas seda õppima hakata. Õpilasel soovitatakse teha aeg-ajalt ka mõttepause, öelda endale „stopp, enne selle ülesande lõpuni lahendamist ma edasi ei loe“ või „oota, eelmine kord ma arvutasin selle valemi abil ja läks valesti, nüüd teen teistmoodi“. Sellised mõttepausid aitavad õpilasel teha informeeritud otsuseid ehk käituda ennastjuhtiva õppijana.

Kuidas kujuneb arutlemise ja põhjendamise oskus?

Digitundide projektis osalevad õpetajad on saanud inspiratsiooni õpikusarjast „Number räägib“ („Number talks“). Selle metoodika puhul kasutatakse samuti eespool mainitud viit etappi ning fookuses pole õige vastus, vaid see, kuidas õpilane matemaatikast mõtleb. „Number räägib“ metoodika töötasid välja Stanfordi ülikooli teadlased Ruth Parker ja Kathy Richardson, et toetada õpilastel arvutaju kujunemist ning arutlus- ja põhjendusoskuse arenemist. Meetodi kohta on raamatuid kirjutanud ka Sherry Parrish  ja Nancy Hughes.

Rohkesti infot leiab selle metoodika kohta USA veebilehelt Math Perspectives (http://mathperspectives.com/). Seal on lihtsat pildimaterjali, mille abil saab õpetaja viie minutiga välja selgitada, kuidas klass teemast aru saab. Kõige lihtsam näide – lasteaias ja algklassides näidatakse lastele kaarte, millel on paigutatud viis kriipsu kord poolitatud ruuduna, kord ringina, kord inimfiguuri meenutava kujundina jne. Sellega harjutatakse lapsi mõtlema, et kriipse on alati viis, ükspuha, kuidas need on kaardile paigutatud. Väga häid näiteid, kuidas saab õpilastes matemaatilise mõtlemise vastu huvi tekitada, pakub ka portaal Teacher’s Desmos. Seal on rohkesti õppematerjali matemaatika õpetamiseks katse-eksituse meetodil, kuid katsetamine on just parim huvi äratamise viis (vaata ka Ljudmilla Roždestvenskaja artiklit „DESMOS – matemaatika õppimine katse-eksituse meetodil“, 16.10.2020 https://opleht.ee/2020/10/desmos-matemaatika-oppimine-katse-eksituse-meetodil/). 

Näiteks 7. klass ja lineaarvõrrand

Kuidas projekti lineaarvõrrandi digitundi rakendada? Algul peab õpilane peast pakkuma, mis tal lineaarvõrrandiga seostub, ja selle kirja panema. Mõttekäikude verbaliseerimist ei tohi matemaatikatunnis alahinnata! Seejärel tulevad digitunni valikvastustega küsimused, mis suunavad märkama lineaarvõrrandite taga peituvat suurt ideed. Selleks kasutatakse kangkaalu mudelit: õpilast suunatakse mõtlema, millal on kaal tasakaalusus, millal ei ole ja kuidas on see seotud matemaatiliste avaldistega ning vastavate arvuliste väärtustega. Klass arutab, missugused valikvastused on õiged, missugused valed ja miks. 

Järgneb GeoGebra lineaarvõrrandi ülesannete harjutamine. Ülesandeid on kolmel kuni viiel keerukuse tasemel, igal tasemel kuus, mis tähendab, et õpilane saab liikuda kergemate ülesannete juurest keerukamate suunas. Raskuste tekkimisel saab õpilane vaadata selgitavat videot. Kui klass on veerand tundi iseseisvalt pusinud, siis uurib õpetaja, mida uut keegi teada sai. Lõpuks tuleb teha õpitust kokkuvõte ja selle teevad õpilased ise.

Need digitunnid tehakse läbi klassis, sest siis saab kaks õpilast töötada ühe arvuti taga koos ning nad saavad teineteiselt nõu küsida ja tehtud otsuseid kohe teineteisele kommenteerida. Ennastjuhtiv õppija ei tohi jääda täitsa üksinda, tal peab abi käepärast olema, toonitab Marina Kurvits. Kui digitundide järgi õpitakse klassis, siis on vajadusel lihtne ka õpetajalt nõu küsida.

---

* Õppematerjali koostamisel lähtuti HTM-i poolt 2021. aasta kevadel välja kuulutatud riigihanke „Matemaatika digitunnid“ raames koostatud kontseptsioonist. Projekti nimi on „Digitundide pilootlahenduse laiendamine põhikooli ja gümnaasiumiastmes matemaatika valdkonnas“. Digitundide valmimist on toetanud programm „Kaasaegse ja uuendusliku õppevara arendamine ja kasutuselevõtt“, mida rahastab Euroopa Sotsiaalfond.

---

DIGITUNDIDE TEEMAD

Kõik 12 digitundi on loodud https://sisuloome.e-koolikott.ee/ keskkonnas, kasutades erinevaid H5P malle ning need on pandud üles E-koolikotti õpetajatele vabaks kasutamiseks. Vastavad lingid leiab ka matemaatika digitundide projekti leheküljelt. 

Põhikooli digitundide teemad

• Lineaarvõrrand ja tasakaal.
• Võrdekujulised võrrandid.
• Lineaarvõrrandi abil lahenduvad probleemülesanded.
• Lineaarvõrrandisüsteemide graafiline lahendamine.
• Lineaarvõrrandisüsteemide lahendamine asendus- ja liitmisvõttega.
• Lineaarvõrrandisüsteemide abil lahenduvad probleemülesanded.

Gümnaasiumi digitundide teemad

• Funktsiooni kasvamise ja kahanemise seos funktsiooni tuletise märgiga.
• Funktsiooni ekstreemum ning selle leidmine.
• Funktsiooni kasvamis- ja kahanemisvahemike ning ekstreemumite leidmine.
• Funktsiooni graafiku kumerus- ja nõgususvahemike ning käänupunktide leidmine.
• Funktsioon kui mudel.
• Ennustamine funktsioonide abil.

---

VÄLJAVÕTTEID DIGITUNDIDEST

Riin Saar. Digitunni alustamine
https://sisuloome.e-koolikott.ee/node/19436

Auli Pärnpuu. Tekstülesande lahendamise etapid:
https://sisuloome.e-koolikott.ee/node/18553

Tuuli Ojasalu. Sirge joonestamine kahe punkti meetodil
https://sisuloome.e-koolikott.ee/node/18878

Madis Loorents. Kuldaväärt ristkülikud
https://sisuloome.e-koolikott.ee/node/19483

Kelly Paabut. Funktsiooni kasvamine ja kahanemine
https://sisuloome.e-koolikott.ee/node/19519